The cohomology rings of the unordered configuration spaces of the torus

We study the cohomology ring of the configuration space of unordered points in the two dimensional torus. In particular, we compute the mixed Hodge structure on the cohomology, the action of the mapping class group, the structure of the cohomology ring and we prove the formality over the rationals.Comment: This was part of arXiv:1805.04906v2 (section 4), 13 pages, 1 figur

Combinatorics of Toric Arrangements

In this paper we build an Orlik-Solomon model for the canonical gradation of the cohomology algebra with integer coefficients of the complement of a toric arrangement. We give some results on the uniqueness of the representation of arithmetic matroids, in order to discuss how the Orlik-Solomon model depends on the poset of layers. The analysis of discriminantal toric arrangements permits us to isolate certain conditions under which two toric arrangements have diffeomorphic complements. We also give combinatorial conditions determining whether the cohomology algebra is generated in degree one.Comment: 29 pages, 1 figur

Two Examples of Toric Arrangements

We show that the integral cohomology algebra of the complement of a toric arrangement is not determined by the poset of layers. Moreover, the rational cohomology algebra is not determined by the arithmetic matroid (however it is determined by the poset of layers).Comment: 12 pages, 1 figure, removed section

Cohomology of configuration spaces of surfaces

We compute the rational cohomology of unordered configuration spaces of points on any closed orientable surface. We find a series with coefficients in the Grothendieck ring of sp(2g) that describes explicitly the decomposition of the cohomology into irreducible representations. From that we deduce the mixed Hodge numbers and the Betti numbers, obtaining a formula without cancellations. This new formula shows that the Betti numbers growth as a polynomial of degree 2g-1.Comment: 17 pages, completely changed section 2, added corollary 4.12, and expanded proof

Il gruppo di Brauer di un campo locale

In questa tesi introduciamo il gruppo di Brauer di un campo, un importante invariante utilizzato in algebra e nella teoria dei numeri. Nella prima parte trattiamo le nozioni base per definire il gruppo di Brauer, fornendo informazioni sulle algebre, sui moduli e sul prodotto tensore. In particolare definiamo le algebre finite, semplici e centrali (C.S.A.) su un campo e dotiamo l'insieme delle algebre semplici centrali di una relazione d'equivalenza. Solo in seguito definiamo il gruppo di Brauer come l'insieme delle algebre semplici centrali quozientato per la relazione d'equivalenza. Infine dotiamo l'insieme dell'operazione indotta dal prodotto tensore di algebre ottenendo così il gruppo (abeliano) di Brauer. Inoltre parliamo brevemente di campi di spezzamento di algebre e del polinomio caratteristico ridotto di un elemento di un'algebra. Nella seconda parte iniziamo lo studio del gruppo di Brauer di un campo qualsiasi. Per fare ciò introduciamo i factor set, funzioni dal gruppo di Galois di un’estensione di campi nel campo esteso con particolari proprietà. Per ogni factor set si riesce a costruire un'algebra semplice centrale; risulta naturale introdurre una relazione d'equivalenza sui factor set tale che due factor set sono equivalenti se e solo se generano algebre equivalenti. Il punto fondamentale è mostrare che ogni elemento del gruppo di Brauer è della forma particolare generata da una classe d'equivalenza di factor set. Arriviamo a caratterizzare il gruppo in base alle estensioni di Galois del campo base e alle classi dei relativi factor set. Nel caso di gruppi di Galois ciclici possiamo scegliere rappresentanti di una classe di factor set molto semplici. Per comprendere meglio il gruppo di Brauer si osserva, senza dimostrare, che i factor set non sono altro che i due cocicli del secondo gruppo di coomologia del gruppo di Galois e che la relazione introdotta non è altro che il quoziente per il sottogruppo dei cobordi. In seguito definiamo i campi locali, campi dotati di una valutazione discreta, completi rispetto alla metrica indotta e con campo dei residui finito. In questo caso le algebre su campi locali sono dotate di una valutazione e dimostriamo che le estensioni finite di campi locali sono ancora campi locali. Infine caratterizziamo le estensioni non ramificate di campi locali e i loro gruppi di Galois. Solo nell'ultimo capitolo definiamo l'invariante di Hasse per un campo locale: un isomorfismo canonico tra il gruppo di Brauer di un campo locale e il gruppo delle radici dell'unità (\faktor{\mathbb{Q}}{\mathbb{Z}}). \medskip Una profonda conoscenza dei gruppi di Brauer oltre a fornire un invariante per i campi e classificare le algebre su un determinato campo, è necessaria anche in teoria dei numeri. Alcune applicazioni si trovano nella risoluzione del problema inverso di Galois tramite forme quadratiche; infatti è importante conoscere la due-torsione del gruppo di Brauer del campo su cui si vuole risolvere il problema inverso. Inoltre alcune nozioni sui gruppi di Brauer hanno permesso di trovare controesempi al fatto che una varietà algebrica unirazionale sia anche birazionale (ostruzione di Brauer-Manin)

Asymptotic growth of Betti numbers of ordered configuration spaces on an elliptic curve

We construct a dga to computing the cohomology of ordered configuration spaces on an algebraic variety with vanishing Euler characteristic. It follows that the $k$-th Betti number of $Conf(C,n)$ ($C$ is an elliptic curve) grows as a polynomial of degree exactly $2k-2$. We also compute $H^k(Conf(C,n))$ for $k \leq 5$ and arbitrary $n$.Comment: 16 pages, 11 table

The homotopy type of elliptic arrangements

We give combinatorial models for the homotopy type of complements of elliptic arrangements (i.e., certain sets of abelian subvarieties in a product of elliptic curves). We give a presentation of the fundamental group of such spaces and, as an application, we treat the case of ordered configuration spaces of elliptic curves. Our models are finite polyhedral CW complexes, and our combinatorial tools of choice are acyclic categories (small categories without loops). As a stepping stone, we give a characterization of which acyclic categories arise as face categories of polyhedral CW complexes.Comment: minor changes, to appear in Algebr. Geom. Topo